Время летит очень быстро и вот на подходе очередная недельная задача: 
Желаю всем удачи!
Вы здесь
Пятая недельная задача
10 мая, 2018 - 13:38
#1
Пятая недельная задача
Время летит очень быстро и вот на подходе очередная недельная задача:
Желаю всем удачи!
Все посмотрели, но скромно промолчали?
Друзья, кому знаком метод математической индукции?
Если уж так лень решать, хоть лайком поддержите!
Можно ли при решении этой задачи сказать, что раз данное неравенство выполняется для x=x+2, y=y+2 и z=z+2, то оно выполняется и для исходного? Потому что если можно, то нужно просто подставить в оба равенства эти значения, получить, что x+y+z=0 из второго и x^2+y^2+z^2+4(x+y+z)+12=x^2+y^2+z^2+12 из первого. И следовательно x^2+y^2+z^2 больше или равно 12.
Не совсем понимаю Вас. Что Вы подразумеваете под:"раз данное неравенство выполняется для x=x+2, y=y+2 и z=z+2"?
Я просто думала, что раз такие равенство и неравенство выполняются для некоторых x, y, z, то должны выполняться и для x+2, y+2, z+2 (таких, что в сумме они дадут 6). Можем ли мы, доказав, что данные выражения справедливы для x+2, y+2, z+2, доказать, что они выполняются для всех x, y, z. Или это совсем не верно и надо искать совсем другое решение?
В общем похоже это не правильно...
Надо рассмотреть нравенство (x-2)^2+(y-2)^2+(z-2)^2≥0 Дальше все решается элементарно.
Можно рассмотреть такой вариант.
x + y + z = 6 - это уравнение плоскости. Тогда нормаль к этой плоскости будет определяться вектором (1;1;1)
Соотв., нормаль пересечется с плоскостью в точке (2;2;2). Квадрат длины этого перпендикуляра будет равен 12.
Здесь x^2 + y^2 + z^2 - это квадрат длины любого вектора, который исходит из начала координат и оканчивается на заданной плоскости.
Перпендикуляр к плоскости - это минимальное расстояние до плоскости, тогда и получается что x^2 + y^2 + z^2 >= 12.
Мне очень понравилось ваше решение. Как жаль, что лайки нельзя ставить!!!:(
Спасибо! Действительно, Максим недавно предлагал поставить лайк задаче, а как же мы его поставим?
Доказательство: Докажем 2 леммы: 1) x^2+y^2>=2xy. Мы знаем, что (x-y)^2>=0. Раскроем скобки: x^2+y^2-2xy>=0. Перенесем 2xy в правую часть и получим: x^2+y^2>=2xy Чтд. 2) x^2+y^2+z^2>=xy+yz+zx. Сложим ранее доказанное неравенство из букв x, y, z: x^2 +y^2>=2xy, x^2+z^2>=2xz, y^2+z^2>=2yz. Получим: 2x^2+2y^2+2z^2>=2xy+2xz+2yz. Сократим двойки и получим: x^2+y^2+z^2>=xy+zy+xz Чтд. Воспользуемся 2 леммой. Сначала обозначим x^2+y^2+z^2=s и xy+zx+yz=d для удобства. Далее возведем обе части x+y+z=6. Получаем: x^2+y^2+z^2+2(xy+zy+xz)=36=s+2d. Выразим d: d=18-s/2. Мы знаем, что s>=d, теперь подставляем d и получаем s>=18-s/2 => 1,5s>=18 => s>=12 => x^2+y^2+z^2>=12 Чтд.
Опечатка: возвести обе части x+y+z=6 в квадрат!!!
Ставлю гипотетический лайк этой задаче!!!!
Точнее, метафизический:)!!