Математический анализ. Лекция 79

50:00 Ограничим область определения семейства функций Φ={f} на компактное множество, тогда семейство Φ по теореме Арцела-Асколи будет относительно компактно в полном пространстве C(K). Доказываем от противного. Пусть нашлось ε>0, что для ∀n ∃f_n : | ∫f_n dμ_n − ∫f_n dμ |≥ε. Из последовательности { f_n } выделим сходящуюся подпоследовательность { f_n_k } к функции g по норме C(K):
lim sup |f_n_k(ω)−g(ω)| =0 при k→∞.
Оценим снизу | ∫g dμ_nk − ∫g dμ |=| ∫g d(μ_nk − μ) |=| ∫ f_n_k d(μ_nk − μ)+∫(g−f_n_k) d(μ_nk − μ) |≥
≥ | ∫f_n_k dμ_nk − ∫f_n_k dμ | − |∫(g−f_n_k) dμ_nk| − |∫(g−f_n_k) dμ| ≥ ε − δ_k |∫dμ_nk| − δ_k |∫dμ| ≥ ε − 2δ_k,
где sup |f_n_k(ω)−g(ω)|=δ_k и |∫dμ_nk|=μ_nk(K)≤1, |∫dμ|=μ(K)|≤1
Выберем ∀k > M настолько большим, что δ_k < ε/3, тогда для этих k выполняется неравенство
| ∫g dμ_nk − ∫g dμ |≥ ε − 2ε/3 = ε/3 > 0 при ∀k > M
Последнее неравенство противоречит слабой сходимости меры μ_n к μ, так как
lim | ∫g dμ_n − ∫g dμ |=0 при n→∞