1:17:00 ∫ F' dG' = F'(b)G'(b) − ∫G' dF' доказали при F'(a)=0, G'(a)=0 и F'(x)=∫_[a, x] f(s)ds, G'(x)=∫_[a, x] g(s)ds
Пусть теперь F'(x)=F(x) − F(a), G'(x)=G(x) − G(a), тогда
∫ (F−F(a)) dG = ( F(b)−F(a) )∙( G(b)−G(a) ) − ∫(G−G(a)) dF
∫ FdG − F(a)∫dG = F(b)G(b)−F(a)G(b)−G(a)F(b)+F(a)G(a) − ∫GdF + G(a)∫dF
∫ FdG − F(a)(G(b)−G(a)) = F(b)G(b)−F(a)G(b)−G(a)F(b)+F(a)G(a) − ∫GdF + G(a)(F(b)−F(a))
∫ FdG = F(b)G(b)−G(a)F(b) − ∫GdF + G(a)(F(b)−F(a))
∫ FdG = F(b)G(b) − G(a)F(a) − ∫GdF

1:18:00 ∫_[a, b] F dG = ∫_[a, b] { ∫_[a, b] 1_[a, x](s) F(ds) } G(dx) = ∫_[a, b] { ∫_[a, b] 1_[a, x](s) G(dx) } F(ds) =
1_[a, x](s) = 1_[s, b](x), ∫_[a, b] 1_[s, b](x) G(dx) = G(b) − lim_{t→s−0} G(t) = G(b) − G(s−0)
= ∫_[a, b] { G(b) − G(s−0) } F(ds) = G(b) ∫_[a, b] dF − ∫_[a, b] G(s−0) F(ds) =
= G(b) F(b) − ∫_[a, b] G(s−0) F(ds)
так как G(a−0)=G(a) и G(a) вообще говоря может быть больше нуля, то
∫_[a, b] G(s−0) F(ds) = ∫_[a] G(s−0) F(ds) + ∫_(a, b] G(s−0) F(ds) = G(a)F(a) + ∫_(a, b] G(s−0) F(ds)
Получается такая формула:
∫ F dG = G(b) F(b) − G(a)F(a) − ∫ G* dF, где G*(s)=G(s−0) при s > a и G*(a)=0

1:27:50 (μ1∗μ2)∗μ3(E)= ∬ 1_E (x+y) (μ1∗μ2)×μ3(dxdy) = ∫ { ∫ 1_E (x+y) (μ1∗μ2)(dx) } μ3(dy) =
= ∫ { ∬ 1_E (t+s+y) (μ1×μ2)(dtds) } μ3(dy) = ∫ { ∫ { ∫1_E (t+s+y) μ1(dt) } μ2(ds) } μ3(dy) =
сделаем два обмена: 1) во внутреннем двойном интеграле μ1(dt) ↔ μ2(ds), потом 2) μ1(dt) ↔ μ3(dy) во внешнем интеграле
∭ 1_E (t+s+y) μ1×μ2×μ3(dtdsdy) = ∫ { ∫ { ∫1_E (t+s+y) μ1(dt) } μ2(ds) } μ3(dy)
= ∫ { ∫ { ∫1_E (t+s+y) μ2(ds) } μ3(dy) } μ1(dt) = ∫ { ∬ 1_E (t+s+y) (μ2×μ3)(dsdy) } μ1(dt) =
= ∫ { ∫ 1_E (t+z) (μ2∗μ3)(dz) } μ1(dt) = ∬ 1_E (t+z) (μ2∗μ3)×μ1(dzdt) = μ1∗(μ2∗μ3)(E)

Viktor — 5 мая, 2019 - 00:32

(μ∗ν)∗ρ(E)= ∬ 1_E (x+y) (μ∗ν)×ρ(dxdy) = ∫ { ∫ 1_E (x+y) (μ∗ν)(dx) } ρ(dy) =
= ∫ { ∬ 1_E (t+s+y) (μ×ν)(dtds) } ρ(dy) = ∫ { ∫ { ∫1_E (t+s+y) μ(dt) } ν(ds) } ρ(dy) =
сделаем два обмена: 1) во внутреннем двойном интеграле μ(dt) ↔ ν(ds), потом 2) μ(dt) ↔ ρ(dy) во внешнем интеграле
∭ 1_E (t+s+y) μ×ν×ρ(dtdsdy) = ∫ { ∫ { ∫1_E (t+s+y) μ(dt) } ν(ds) } ρ(dy)
= ∫ { ∫ { ∫1_E (t+s+y) ν(ds) } ρ(dy) } μ(dt) = ∫ { ∬ 1_E (t+s+y) (ν×ρ)(dsdy) } μ(dt) =
= ∫ { ∫ 1_E (t+z) (ν∗ρ)(dz) } μ(dt) = ∬ 1_E (t+z) (ν∗ρ)×μ(dzdt) = μ∗(ν∗ρ)(E)

Viktor — 23 января, 2020 - 03:15

1:18:00 Меры dG и dF в общем случае необязательно абсолютно непрерывные относительно меры лебега, мера одноточечного множества может не равняться нулю. F(x)−F(a−0), G(x)−G(a−0) — меры множества [a, x].
Распишем ∫_[a, b] FdG = ∫_[a, b] { ∫_[a, b] 1_[a, x](s) F(ds) } G(dx) + F(a−0)(G(b)−G(a−0))= ∫_[a, b] { ∫_[a, b] 1_[a, x](s) G(dx) } F(ds) + F(a−0)(G(b)−G(a−0)) =
1_[a, x](s) = 1_[s, b](x), ∫_[a, b] 1_[s, b](x) G(dx) = G(b) − lim_{t→s−0} G(t) = G(b) − G(s−0)
дальше = ∫_[a, b] { G(b) − G(s−0) } F(ds) = G(b) ∫_[a, b] dF − ∫_[a, b] G(s−0) F(ds) =

дальше = G(b) F(b) − G(b)F(a−0) − ∫_[a, b] G(s−0) F(ds) + F(a−0)G(b) − F(a−0)G(a−0) =
= G(b) F(b) − F(a−0)G(a−0) − ∫_[a, b] G(s−0) F(ds)
Получается такая формула:
формула ∫ F dG = G(b) F(b) − F(a−0)G(a−0) − ∫ G* dF, где G*(s)=G(s−0)

... = G(b) F(b) − F(a−0)G(a−0) + ∫_[a, b]( G(s) − G(s−0) )F(ds) − ∫_[a, b]G(s)F(ds)
обозначим ∫_[a, b]( G(s) − G(s−0) )F(ds)=∑_[a ≤ t ≤ b]( G(t) − G(t−0) )( F(t) − F(t−0) )=∑_[a ≤ t ≤ b]ΔG(t)ΔF(t)
Новая формула: ∫ F dG = G(b) F(b) − F(a−0)G(a−0) − ∫_[a, b]G(s)F(ds) + ∑_[a ≤ t ≤ b]ΔG(t)ΔF(t)

Viktor — 23 января, 2020 - 03:15

Вы здесь

Математический анализ. Лекция 64

Другие лекции курса

Страницы

Комментарии

Страницы