Интегрируемые спиновые цепочки. Лекция 1

Лекция началась с формулировки двух примеров интегрируемых спиновых цепочек – XXX-цепочки со спином 1/2 и цепочки со спином, равным -1.

XXX-цепочка – это одномерная квантовая система, представляющая собой набор из N частиц со спинами. Спины могут быть как полуцелыми, так и в общем положении. Гамильтониан системы раскладывающимся в сумму взаимодействий ближайших соседей. Члены этой суммы представляют собой тензорные произведения спинов в соседних узлах. Пространство состояний представляет собой N-ую тензорную степень пространства представления алгебры sl(2), соответствующего данному значению спина. В случае спина 1/2 пространство представления – это двумерное комплексное векторное пространство, а для спина -1 – бесконечномерное пространство. Задача состоит в точном решении квантовой системы, то есть нахождении спектра и собственных состояний гамильтониана. Из sl(2)-инвариантности гамильтониана XXX-цепочки следует, что пространство состояний разбивается на sl(2)-инвариантные подпространства меньшей размерности, так как в результате действия генераторов алгебры sl(2) на собственные состояния гамильтониана будут опять получаться собственные состояния гамильтониана.

Таким образом задача диагонализации гамильтониана упростилась. То есть чтобы диагонализовать гамильтониан, надо разложить N-ую тензорную степень пространства представления алгебры sl(2), соответствующего спину, в прямую сумму инвариантных подпространств неприводимых представлений, и диагонализовать гамильтониан на этих подпространствах меньшей размерности.