Дополнительные задачи (по главе 6)

Задача 2

Используя математическую индукцию, докажите, что

Задача 3

В компании из n человек (n > 3) каждый узнал по новой истории. За один телефонный разговор двое сообщают друг другу все известные им истории. Докажите, что за 2n – 4 разговоров все смогут узнать все новые истории.

Задача 4

Где ошибка в следующем доказательстве?

Теорема. Пусть а – любое положительное число. Для положительных целых чисел n имеем a^(n-1) = 1.

Доказательство. Если n = 1, то a^(n-1) = a^(1-1) = a^0 = 1.

Применяя метод индукции и предполагая, что теорема верна для 1, 2, …, n, имеем

 a^((n+1)-1) = a^n = ( a^(n-1) * a^(n-1) ) / a^(n-2) = (1*1) / 1 = 1;

следовательно, теорема верна также и для n + 1.