Жители одной из планет под названием Блинландия считают, что они обитают на поверхности весьма тонкого диска (толщина 1 км) очень-очень большого радиуса (100 000 км). Рассчитайте ускорение свободного падения вблизи центра диска не не очень большой высоте от его поверхности. По какому закону будет меняться g при удалении от поверхности диска в случае движения по его оси?Оцените вторую космическую скорость на Блинландии. (Плотность льда считать примерно равной плотности воды).
Успехов!
Чирцов
Тяк интегрировал уж очень давно, пришлось вспоминать. Зависимость ускорения свободного падения такая. g=H*pi*ro*G(ln(h+H)-ln(h)) Это так или я где то накосячил?
Где ro Это плотность вещества диска, H высота над диском, h толщина диска, pi и G константы.
А откуда у Вас ln всплыл? От интегрирования по толщине диска?
Кажется понял,откуда:).Вы решили считать радиус планеты бесконечно большим. Тогда- все вроде верно.Но вот если Вы по оси диска подниметесь повыше- его уже плохо считать бесконечным. Зато толщину диска можно считать почти нулевой ))))
Ну вопрос был " Рассчитайте ускорение свободного падения вблизи центра диска не не очень большой высоте от его поверхности." Хвост то от интеграла с радиусом у меня остался на бумаге, но при подстановке пределов он пришёл почти к нулю и я его вычеркнул. Так то там ещё корни будут под логарифмами. :) А вот интеграл для честной космической скорости к предельным случая не сводится и там надо всю конструкцию брать).
Сорри, Aiven, Вы меня ввели в заблуждение, а я, как доверчивый человек "купился". ПОка сегодня катался на лыжках, пришел к мнению, что никаких ln там быть не может. Вы какой интеграл брали?
Я делал все что угодно, кроме того что бы вводить Вас в заблуждение. Все же степень моей неуверенности в ответе крайне велика, что бы ввести в заблуждение. Я как честный человек вообще спросил где я ошибся.
Что брал поясню. Координаты ввел цилиндрические с началом координат в центре (самоочевидно). Тогда мы разбиваем наш несчастный диск на кусочки которые очень похожи на прямоугольные параллелипипеды (хотя конечно они формально две дуги и элементы радиуса концентрической окружности. стороны этого квадратика 2r*d(fi/2) dr dz(где z вниз идет) Пределы интегрирования вроде бы очевидны 2pi , R, h соответственно. Этот элемент объема умножаем на плотность получаем массу. Кроме массы в законе гравитации подставляем G и делим на радиус в квадрате, который согласно пифагору равен (H+z)^2 + r^2. Но полученная сила будет направлена к телу а нам нужна только вертикальная составляющая, тк горизонтальные найдут симметричную и уничтожатся. Значит нам нужно ещё домножить вертикальный катет на (H+z)/ и делить на гипотенузу ((H+z)^2 + r^2) в степени одна вторая. Вот этот интеграл я и должен был бы взять, но пока пояснял, что делал сам нашел ошибку. Потому как вот эту z в катете забыл и просто вынес H за знак интеграла и забыл о нем.
Если бы я не сделал этой досадной оплошности то в итоге получил бы вот такое выражение для любых значений H
g=ro*pi*G(h+((h+H)^2+R^2)^0,5 - (H^2+R^2)^0,5)
Это избавляет от странных логарифмов и вообще мне нравится существенно больше
Дорогой Aiven, я же просто пошутил про заблуждение и забыл поставить ":)))))))". Каюсь! )))))
Молодец, что ошибку нашли сами. Еще хорошо бы посмотреть на результат в случае очень большого (бесконечного) радиуса. Должна получиться константа для ускорения свободного падения,поскольку известно, что электрическое поле бесконечной заряженной плоскости. посоянно.Проверьте.
Ну формула для g написана. Подставим туда в радиус что то бесконечно большое получим g=ro*pi*g*h на любом расстоянии от плоскости.
Ммммм....В эту формулу подставлять?
g=ro*pi*G(h+((h+H)^2+R^2)^0,5 - (H^2+R^2)^0,5)
А там степени (...) ^0.5 положительные? Тогда на очень нетривиальная получается неопределенность.... И.... что это; g=ro*pi*g*h -получается, чо чем дальше от притягивающей плоскости тем больше ускорение свободного падения? ПРОДОЛЖАЕМ ИСКАТЬ ОШИБКИ! )))))
h это толщина диска. Чем он толще тем больше ускорение. А от высоты зависимости ожидаемо нет-поле то однородное. Степени выходят положительные. Отрицательными они быть не могут. Иначе бы при бесконечном круги сила тяжести в ноль бы ушла. ПОчему нетривиальная неопределенность. если R>>h и R>>H, то два корня равные по сути и с разными знаками ноль дают.
Мммммм....
g=ro*pi*G(h+((h+H)^2+R^2)^0,5 - (H^2+R^2)^0,5)=ro*pi*G(h+R {([(h+H)/R]^2+1)^0,5 - ((H/R)^2+1)^0,5)}--->ro*pi*G(h+R*0 )... - R*0- это очень плохая неопределенность,которая может оказаться равной чему угодно....:(((((((
Почему чему угодно? Это же разность двух корней. Аргумент одного из которых чуть больше другого. Я утверждаю что это уйдет в ноль(позовите математика который это строго докажет. Так то просто разность посчитаем при увеличивающихся R. Если R 10, а H и h по километру, то будет корень из 104 минус корень из 100. Это где то 0,2 Предположим наше r - 100 км, а H равент толщине диска. Будет корень из 10004 минус корень из 10.000 это уже 0,02. То есть на порядок меньше. И при увеличении R эта разность будет падать. :)
Может быть лучше не приводить какие-то отдельные количественные примеры, а выделить малый параметр и разложить результат по нему в ряд Тейлора? Зачем математиков отвлекать от их проблем? Зачем ждать,пока кто-то что-то докажет? :))
Если я не ошибаюсь, можно ещё новую переменную ввести 1/R=x ну и по теореме лапиталя что-то сделать. Сейчас на это времени нет (у меня сегодня 8 часов уроков =\), но, боюсь, даже если мой тезис будет верен, это проблем доверия к формуле это не решит.
Это что касается неопределённости. А вот что меня самого реально смущает на самом деле, так это весьма странная зависимость силы тяжести от H. При больших H и малом R и h ожидаются обратные квадраты, что бы свелось к закону гравитации для точек. А получается что-то не то.
Хорошее замечание. На больших расстояниях закон обратных квадратов должен получаться... )))))
а 8 уроков - это не очень большой подвиг.Я уже отчитал 5 пар лекций а рабочий день только начинается :)))
Их оказалось 10 и лекции немного отличаются от седьмых и восьмых классов музыкантов и актеров которые брызгают энергией, но вот физики бояться. Плюс Ваш опыт явно больше моего. Мне расти и расти. :)
))))). Но доделать было бы хорошо. Результат мы бы выставили с Вашим портретом в торжественно-траурной рамке )))))
Вернулся сегодня из командировки, а тут такая дискуссия :) Попробую и я вспомнить забытую науку интегрирования.
Благое начинание,Сергей!
Конец четверти. Хвостатые со всех сторон. Задача не заброшена! :)
Я вот почти 11 лет как диплом защитил, и вот обнаружил что порядком подзабыл математику, но задачу так же добью :)
Успехов, ребята! )))))
Rb - расстояние тела до прямой, перпендикулярной плоскости блина и проходящей через центр масс блина.
Hb - расстояние тела до плоскости, паралельной основанию блина и также проходящей через ЦМ блина.
H - толщина блина
R - радиус блина
M - масса блина
Блин представим как совокупность цилиндрических колец.
Интригал (с) брать будем с трех флангов, то есть, по двум направлениям: по толщине блина, вдоль радиуса и по углу, делая оборот...
Положение любой точки блина задается двумя аналогичными координатами r и h и дополнительно углом A (Alpha) между r и Rb.
Для удобства определения расстояния перейдем в стандартную прямоугольную систему координат.
Координаты тела считаем как (Rb,0,Hb), координаты точки блина - (r*cos(A),r*sin(A),h), где A пробегает угол от 0 до 2Pi, а h - значения от -H/2 до +H/2
массу элемента блина dm = можно представить как rho*dV При этом rho считаем постоянной.
dV = r * dr * dA* dh
(Кстати, в привычных декартовых, а не цилиндрических dV = dx*dy*dz
Тем, кому интересно, откуда в цилиндрических координатах взялась r, гуглите Якобиан,
плюс картинка в помощь https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1b/Triple_Integral_Exam...)
В итоге сила, действующая между маленьким кусочком блина и телом
dF = G*rho * dV / dist^2
dist ^2 = (Rb-r*cos(A))^2 + (r*sin(A))^2 + (Hb-h)^2
Чтобы получить полную силу, нужно взять тройной интеграл от такого чуда
G*rho*r * dr * dA* dh / ((Rb-r*cos(A))^2 + (r*sin(A))^2 + (Hb-h)^2)
Если нас интересует центр диска, то Rb = 0, и получаем интеграл от
2*Pi*G*rho*r * dr * dh / (r^2 + (Hb-h)^2)
Ёперный балет, я ж угол забыл... Сложил векторы аки скаляры. :-(
Для того,чтобы складывать не векторы, а скаляры, выдуманы ПОТЕНЦИАЛЫ-скалярные функции, позволяющие восстанавливать векторные поля с помощью оператора пространственного дифференцирования ("набла")
Интегрировать, как правило, бывает легче в тех случаях, когда порядок суммирования соответствует симметрии задачи. Так чтов данном случае цилиндрические координаты предпочтительнее ....
Так в них в итоге и остались... но что-то сумма квадратов с r и h в знаменателе не дают от кратного к повторному интегралу перейти.
Единственный вариант, это просто проигнорировать конечность толщины диска и выкинуть этот член из знаментеля.
Я так и не понял точно что такое Hb(как то криво объявил переменную), но вроде брал похожий интеграл и получились вот эти корни. Пытаюсь понять что делал не так.
Hb - высота над ЦМ диска. Минимум высоты H/2 - тело находится на поверхности блина.
А да. У меня в общем то такой же был интеграл.
Друзья,я надеюсь,что ответ-то верный. Только нужно было бы показать, что при больших R результат стремится к константе )вне "блина" и к линейной функции внутри его, а при малых радиусах и больших удалениях от него - спадает как R^(-2)
Мой вариант решения... Если не напутал в коэффициентах - вышло очень правдоподобно. Проверьте на досуге... )))
А корень-то зачем на R^2+h^2 ?
Где конкретно корень? Их много... ))))
Вроде бы у меня получилось все то же, ну кроме разложения в ряд тейлора, который я подзабыл и поэтому не делал.
Тогда еще проблемка.... Проблемка, в котоой умение интегрировать не факт, что поможет.... :))))).
Ну.... разве что очень высококачественное умение интегрировать. Лично я не рискую....:)))))
ИТАК:
После трансгиперпрстранственного прыжка в очень отдаленную от нас часть Вселенной мужественный астронавт оказался вблизи неизвестной и очень странной планеты, названной им Гравигауссией. Последняя представляла сбой очень-очень-очень длинный однородный цилиндр, вращающийся вокруг своей оси так, что сутки на нем длились Т. Высадив свою очаровательную, но слегка надоевшую ему спутницу (очень раздраженную фактом присвоения планете имени Гравигауссия вместо ее очаровательного имени) на поверхность описанной планеты, мужественный астронавт получил информационно и эмоционально - емкое сообщение с поверхности. в котором содержались не только высказывания по поводу его личностных качеств, но и более неожиданная информация о... невесомости. Последнее почему-то особенно раздрожило обитательницу теперь уже заселенной планеты... Оцените плотность грунта на Гравигаусии, не забыв отдать должное астронавту, давшему планете столь странное и почему-то обидное для его подруги название...
Я правильно понял, что высадили Стер... спутницу не на торцы(которые круг представляют из себя) а на поверхность в центре вот этогой длинной-длинной части цилиндра. А плотность грунта мы считаем постоянной.
Все абсолютно правильно понимаете :)))))
Есть мнение, что ответ такой Ro=8pi/(GT^2) идея решения в том, что мы разбиваем цилиндр на слои. Это получаюстя прямоугольники со сторонами бесконечность и . Находим силу действующую со стороны слоя с шириной 2y на высоте H над слоем(для этого берем двойной интеграл). Дальше для каждого слоя высота своя, но по теореме пифагора можно найти связь между у и H и взять ещё одиночный интегральчик от арктангенса(y/H) по dH. Надо отметить, что интегралы беру уже не я, а компьютер, что понижает требования к решающему(и количество ошибок тоже понижает, но подставит нас если мы провалимся во времени лет этак на 20 назад).
Ммммм... Идея, конечно, здравая. Это очень правильный подход - агружать комп трудоемким интегрированием. Я всегда за это, что очень раздражает коллег-математиков...Вот только при чем тут такое странное название планеты? Кстати, я только что решал без компа и наши ответы разошлись ровно в 4 раза... возможно, я и ошибся....
Ну ленивых вариантов ответа среди ночи два. Во первых g будет по распределению гаусса с центром в центре цилиндра(ну у нас у физиков вообще либо гаусс либо экспонента, либо вот та дельта-функция, которая сингулярность дает). Либо если проинтегрировать диск, а не прямоугольное сечение то тоже вылезет гаусс и тогда интеграл надо брать уже от этой функции а он типа легкий. Хмм я мог ошибится когда определенные интегралы считал, конечно.
Нееееет, дорогой Aiven! :). Я подразумевал, что в электростатике есть такая крутая теорема Гаусса, а электростатика чем-то сходна с "гравистатикой"... И если идеи первой перенести на вторую.... То, может быть, интегрировать и не надо вовсе...