Первую или вторую контрольные работы по математической логике успешно написали 33 студента, первую или третью – 31 студент, вторую или третью – 32 студента. Не менее двух контрольных работ выполнили 20 студентов.
Сколько студентов успешно решили только одну контрольную работу?
31
Пусть A, B, C - множества студентов, решивших 1-ю, 2-ю и 3-ю работы соответственно.
M - множество студентов, решивших 2 или 3 работы: M = A&B | B&C | A&C | A&B&C = {по закону поглощения} = A&B | B&C | A&C.
Докажем, что A|B (решили 1-ю или 2-ю работу) включает M - найдем пересечение этих множеств:
(A|B) & M = (A|B) & (A&B | B&C | A&C) = A&A&B | A&B&C | A&A&C | B&A&B | B&B&C | B&A&C = A&B | A&B&C | A&C | A&B | B&C | A&B&C = A&B | B&C | A&C | A&B&C = A&B | B&C | A&C = M.
Пусть множество A1 - решившие только 1-ю работу, B1 - только 2-ю. Так как A1&B1 = {}, то A1|B1 - решили только 1-ю либо только 2-ю работу.
A1|B1 = A|B \ M. Поскольку A|B включает M, то |A1| + |B1| - |A1&B1| = |A1| + |B1| = |A|B| - |M|.
По условию:
|A1| + |B1| = |A|B| - |M| = 33 - 20 = 13
Аналогично, для пар множеств A,C и B,C:
|A1| + |C1| = 31 - 20 = 11
|B1| + |C1| = 32 - 20 = 12
Сложим все 3 равенства:
2(|A1| + |B1| + |C1|) = 36,
откуда
|A1| + |B1| + |C1| = 18 студентов решили только одну работу.
Очень хорошее решение.