Математический анализ. Практика 4

51:51 В знаменателе дроби у ε должно быть 3xo^2+3|xo|+2.
1:00:40 Так как df/dx=1/3 (1+3x^2)/(-2+x+x^3)^(2/3) стремится к 1 снизу при x→±∞, то для x≤0.75 и x≥4.02 f'(x)<1, для 0

51:51 В знаменателе дроби у ε должно быть 3xo^2+3|xo|+2. 1:00:40 Так как df/dx=1/3 (1+3x^2)/(-2+x+x^3)^(2/3) стремится к 1 снизу при x→±∞, то для x≤0.75 и x≥4.02 f'(x)<1, для 0<d≤1/2 f'(1+d)≥1.28=f'(3/2), при 0<d<1/2 f'(1-d)<f'(1+d) и f'(x)<f'(1+d) для x≤1−d или x≥1+d. Рассмотрим δ≤1/2 окрестность точки 1, очевидно для двух точек x1,x2∉(1−δ, 1+δ) согласно формуле конечных приращений верно |f(x2)−f(x1)|<f'(1+δ) |x2−x1|, так как 0<f'(x)≤f'(1+δ), x∈[x1,x2]. |f(x2)−f(x1)|<ε для |x2−x1|<ε/f'(1+δ) (!) f'(1+δ)=1/3 (1+3(1+δ)^2)/(−2 +(1+δ)+(1+δ)^3)^(2/3)=(4+6δ + δ^2)/(3(4δ +3δ^2 + δ^3)^(2/3)) Пусть δ=min(1, (ε/2)^3/8), для двух точек x1,x2∉(1−δ/2, 1+δ/2) верно |f(x2)−f(x1)|<f'(1+δ/2) |x2−x1|, а для x1,x2∈(1−δ, 1+δ) выполняется |f(x2)−f(x1)|<ε (!!). Выберем δ'=min(δ/2, ε/f'(1+δ/2)), тогда для любых двух точек x1,x2, |x2−x1|<δ' выполняется |f(x2)−f(x1)|<ε. Действительно, если x1,x2∉(1−δ/2, 1+δ/2), то неравенство следует из (!), а если x1 или x2∈(1−δ/2, 1+δ/2), то |1−x1|<δ/2<δ, |1−x2|≤|1−x1|+|x1−x2|<δ/2+δ'≤δ, поэтому x1,x2∈(1−δ, 1+δ) и выполняется (!!).

2:13:40 Можно не делить эпсилон на три, если две точки расположены ближе чем 1/3^n и например попадают в дополнение к открытым интервалам n-го поколения Ы, то колебание очевидно меньше 1/2^n, а если одна из точек попадает в один из интервалов Ы, то всё-равно колебание меньше 1/2^n, так как мы эту точку можем заменить на точку из конца интервала Ы и при этом колебание не изменится, а случай сведётся к первому, когда точки были вне интервалов Ы n-го поколения. Если обе точки в Ы, то колебание ноль.
2:14:00 Лихо конечно мы взяли двоичный логарифм, он же не целое число, а n мы фиксировали целым хоть и достаточно большим, как тут быть? Какая тут связь между фиксированным n и логарифмом?
Давайте рассмотрим число ε=2^log_2(ε) и n выберем таким, что 1/2^n ≤ ε < 1/2^(n+1), в этом случае и 1/3^n ≤ 3^log_2(ε) < 1/3^(n+1). Для δ=3^log_2(ε) и x |x-x0|<δ/3<1/3^n выполнено |f(x)-f(x0)|<1/2^n ≤ ε
Значит дельта надо брать такую δ'=δ/3=3^log_2(ε)/3.

2:13:40 Можно не делить эпсилон на три, если две точки расположены ближе чем 1/3^n и например попадают в дополнение к открытым интервалам n-го поколения Ы, то колебание очевидно меньше 1/2^n, а если одна из точек попадает в один из интервалов Ы, то всё-равно колебание меньше 1/2^n, так как мы эту точку можем заменить на точку из конца интервала Ы и при этом колебание не изменится, а случай сведётся к первому, когда точки были вне интервалов Ы n-го поколения. Если обе точки в Ы, то колебание ноль.
2:14:00 Лихо конечно мы взяли двоичный логарифм, он же не целое число, а n мы фиксировали целым хоть и достаточно большим, как тут быть? Какая тут связь между фиксированным n и логарифмом?
Давайте рассмотрим число ε=2^log_2(ε) и n выберем таким, что 1/2^n ≤ ε < 1/2^(n+1), в этом случае и 1/3^n ≤ 3^log_2(ε) < 1/3^(n+1). Для δ=3^log_2(ε) и x |x-x0|<δ/3<1/3^n выполнено |f(x)-f(x0)|<1/2^n ≤ ε
Значит дельта надо брать такую δ'=δ/3=3^log_2(ε)/3.