Основы математической статистики. Лекция 13

Спасибо за интересную лекцию! 

53:00 Честно говоря не понял как объяснить количество степеней свободы при помощи параметрической модели c количеством степей свободы m-1?
1:09:00 Посмотрим на формулу проверки независимости χ^2=n∑∑(νij−AjBi/n)^2/AjBi, здесь r=2, s=m, n=n1+n2
Она имеет (r-1)(s-1) степеней свободы, т.е (m-1). Покажем, что она сводится к формуле проверки однородности выборки.
χ^2=n∑[ (νi1−A1Bi/n)^2/(A1Bi)+(νi2−A2Bi/n)^2/(A2Bi) ]=
так как νi1=νxi, νi2=νyi, A1=n1=nx, A2=n2=ny, n=n1+n2, Bi=(νxi+νyi)
=n∑[ (νxi−n1(νxi+νyi)/n)^2/(n1(νxi+νyi))+(νyi−n2(νxi+νyi)/n)^2/(n2(νxi+νyi)) ]=
=n/(n1∙n2) ∑1/(νxi+νyi) [ n2( νxi−n1(νxi+νyi)/n)^2+n1(νyi−n2(νxi+νyi)/n)^2 ]=
=1/(n∙n1∙n2)∑1/(νxi+νyi) [n2((n1+n2)νxi−n1(νxi+νyi))^2+n1((n1+n2)νyi−n2(νxi+νyi))^2]=
=1/(n∙n1∙n2)∑ [ n2(n2∙νxi−n1∙νyi)^2+n1(n1∙νyi−n2∙νxi)^2 ]/(νxi+νyi)=
=1/n ∑ [ n1(n2/n1∙νxi−νyi)^2+n2(n1/n2∙νyi−νxi)^2 ]/(νxi+νyi)=
=1/n ∑ [ n2^2/n1∙νxi^2−2n2∙νxi∙νyi+n1νyi^2+n1^2/n2∙νyi^2−2n1∙νxi∙νyi+n2∙νxi^2 ]/(νxi+νyi)=
=1/n ∑ [ (n2^2/n1+n2)∙νxi^2−2n∙νxi∙νyi+(n1^2/n2+n1)∙νyi^2 ]/(νxi+νyi)=
= ∑ [ n2/n1∙νxi^2−2∙νxi∙νyi+n1/n2∙νyi^2 ]/(νxi+νyi)=
= ∑ [ √n2/√n1∙νxi−√n1/√n2∙νyi ]^2/(νxi+νyi)=
= n1∙n2∑[νxi/n1−νyi/n2]^2/(νxi+νyi)

P.S. Как я понимаю в случае r>2 однородность выборки можно проверять при помощи статистики
χ^2=n∑∑(νij−AjBi/n)^2/AjBi
Которая будет иметь (r-1)(s-1) степеней свободы.