Многообразия Фано

Александр Кузнецов:

Я расскажу о многообразиях Фано --- одном из наиболее важных классов алгебраических многообразий. По определению, многообразие Фано --- этот гладкое проективное многообразие с обильным антиканоническим классом. В отличии от многообразий общего типа (многообразий с обильным каноническим классом), в каждой размерности имеется лишь конечное число деформационных классов многообразий Фано, однако полностью классифицировать их удалось только вплоть до размерности 3. Многообразия Фано близки по свойствам к рациональным многообразиям, в частности всякое многообразие Фано рационально связно. Однако, многие многообразия Фано не рациональны, и в общем случае вопрос о рациональности многообразий Фано является сложным и интересным. С другой стороны, многообразия Фано крайне интересны с точки зрения структуры их производной категории когерентных пучков. В частности, их производная категория всегда обладает интересным полуортогональным разложением, а структура его компонент тесно связана с геометрическими свойствами многообразия. Я расскажу о классификации многообразий Фано в размерностях не выше 3 и взаимосвязях между вопросами рациональности и структурой их производных категорий. Кроме того, я постараюсь рассказать о интересных вопросах для многообразий большей размерности.