Проблемы моментов и операторы Ганкеля
Курс
Обсуждаются две проблемы моментов — Гамбургера и Стилтьеса. Исторически, обе играли ключевую роль в математическом анализе. В частности, их изучение привело к созданию теории самосопряженных операторов и теории меры. Точнее, существование решения проблемы моментов Гамбургера по сути эквивалентно спектральной теореме. Его единственность — это особая тема, и полное решение этой проблемы остается в значительной степени открытой проблемой. Проблемы моментов тесно связаны с теорией операторов Ганкеля, которая будет затронута только поверхностно.
Другую сторону этих проблем отражает теория матриц Якоби. Планируется обсудить основные понятия абстрактной спектральной теории и теории рассеяния на примере этого класса операторов. Выбирается специальная полубесконечная матрица Якоби, отвечающая точечному взаимодействию для дискретного оператора Шредингера, и находятся явные выражения для ее спектральной меры, резольвенты и других спектральных характеристик. Оказывается, что спектральный анализ этой матрицы Якоби приводит к новому классу ортогональных многочленов, обобщающих классические многочлены Чебышева.