От геометрического соответствия Спрингера к категорному действию группы кос

Известно, что неприводимые представления симметрической группы порядка n нумеруются диаграммами Юнга. Типы Жордановой нормальной формы квадратных матриц размера n тоже нумеруются диаграммами Юнга. Соответствие Спрингера призвано объяснить, что это неслучайно, и по каждой нильпотентной орбите в пространстве матриц можно построить неприводимое представление симметрической группы.

Мы обсудим геометрическую машину для построения представлений — многообразие Гротендика-Спрингера и многообразие Стейнберга. Классический результат Каждана-Люстига и Гинзбурга отождествляет групповую алгебру симметрической группы со старшими гомологиями Бореля-Мура многообразия Стейнберга. Оказывается, меняя теорию гомологий, по той же схеме можно строить геометрически другие интересные алгебры, близкие к группам Вейля, и их представления.

В заключение мы обсудим идею категорификации и категорные представления группы кос, возникающие из геометрии многообразия Стейнберга.