Комбинаторный подход к решению одной экстремальной задачи о многочленах

В 1965 году Бёрч, Чоула, Холл и Шинцель (Birch, Chowla, Hall, and Schinzel) поставили следующую задачу. Пусть даны два комплексных многочлена A и B. Какова может быть минимальная степень разности A3 – B2 (если эта разность не равна тождественно нулю)? Авторы предложили две гипотезы: первая из них давала оценку для искомой степени, а вторая утверждала, что эта оценка неулучшаема. Первая гипотеза была доказана в том же году Дэвенпортом (Davenport); вторая гипотеза оказалась более трудной и была доказана Стозерсом (Stothers) лишь 16 лет спустя, а 1981 году. В 1995 году Занньер (Zannier) рассмотрел существенно более общую задачу – о наименьшей степени разности двух многочленов с заданными кратностями корней. Он нашёл нижнюю границу этой степени и доказал её неулучшаемость. В 2010 году Бёйкерс и Стьюарт (Beukers and Stewart) вернулись к частному случаю задачи Занньера, а именно, к степени разности Ap – Bq, но при этом наложили условие рациональности на коэффициенты многочленов A и B.

В недавней совместной работе с Фёдором Паковичем (университет Беер Шевы, Израиль) мы устанавливаем соответствие между парами многочленов, для которых достигается оценка Занньера, и плоскими деревьями, рёбра которых снабжены целочисленными весами. Если дерево, отвечающее заданному набору степеней вершин, единственно, то соответствующие многочлены имеют рациональные коэффициенты. Мы классифицировали все такие деревья, а также вычислили все соответствующие им многочлены. Рассмотрены также другие комбинаторные инварианты действия группы Галуа на взвешенных деревьях. Наконец, в совместной работе с Николаем Адриановым (МГУ) мы установили полную классификацию примитивных групп монодромии взвешенных деревьев.