Введение в метаматематику

Краткое содержание курса:

1. Четыре сценария теорем о невозможности в математике ("параллельные миры", "недостаточность методов или инструментов", "отсутствие общей формулы", "несуществование нужных объектов").
2. Теории и модели.
3. Слабые теории и их модели: обсуждение теоремы Тарского о вещественно-замкнутых полях (без доказательства), Теоремы Пресбургера и т. п.
4. Сильные теории и их модели. Основная теорема теории моделей.
5. Кризис оснований математики, первые попытки его разрешения (исторический обзор).
6. Арифметизация математики и метаматематики. Конструктивная математика.
7. Теоремы Гёделя о неполноте (теоретико-модельный подход, доказательство Чайтина, обсуждение).
8. Теории, не доказывающие непротиворечивость друг друга, убывающие цепочки недоказуемых утверждений.
9. Введение в Теорию Рамсея и теорию Наша-Уильямса. Откуда берётся недоказуемость. Сила теоремы Рамсея для троек.
10. Принцип Париса-Харрингтона, доказательство его недоказуемости. Общие методы доказательства недоказуемости.
11. Обратная математика, арифметическое расщепление, пространство всех арифметических возможностей.
12. Влияние больших кардиналов на арифметику: пример комбинаторного утверждения, недоказуемого без использования больших кардиналов. Доказательство этого утверждения с использованием больших кардиналов.
13. "Платонисты" и теория "единственного пути наверх".
14. Так кто же прав: платонисты, плюралисты или конструктивисты?

Страница курса на сайте Computer Science Club