Mодель Лиувилля: корреляционные функции и конформные блоки

 В 1898 г. А. Пуанкаре дал решение проблемы униформизации римановых поверхностей, основанное на классическом уравнении Лиувилля. В 1981 г. А.М. Поляков предложил новый подход к теории бозонной струны, в котором квантовая модель Лиувилля возникает как конформная аномалия. Основной нерешенной задачей квантовой теории Лиувилля является строгое математическое определение корреляционных функций и описание их аналитических свойств. Я расскажу об одном эвристическомподходе к этой задаче, основанном на функциональном интеграле (обобщении фейнмановского интеграла по траекториям), и приведу строгие математические результаты о свойствах корреляционных функций в квазиклассическом приближении. Последние тесно связаны с классическими вопросами аналитической теории обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с регулярными особыми точками, и с голоморфной симплектической геометрией пространств модулей римановых поверхностей.