Рассказы о теории чисел. Лекция 1

В основном это рассказ о теории чисел. Экспериментальный факт: для теории чисел полезна и нужна вся хорошая математика, а плохая не нужна. План такой: разбираться в теории чисел, а заодно и подучить хорошую математику. Таким образом, у этих лекций есть начало, но, видимо, нет конца...

Постараемся придерживаться следующих принципов:

• учимся математике на примере хороших задач;
• рассматриваем много примеров и "антипримеров".

Кроме того, время от времени будут появлятся учебные задачи, темы для докладов на семинаре и темы для самостоятельной научной работы.

Что делает задачу хорошей или плохой? Например:

Хорошая задача Теорема Ферма

Качество неизвестно Простые близнецы

Плохая задача Проблема 4-х красок

По Манину, задачи о близнецах и задача о 4-х красках не хороши, так как не включены ни в какой контекст. Заниматься "близнецами" очень рискованно.

В качестве нерешенных хороших задач выбрано несколько проблем Гильберта, проблем тысячелетия и несколько других задач.

1. Гипотеза Римана.
2. Гипотеза Берча–Суиннертона-Дайера.
3. 12-я проблема Гильберта и программа Ленглендса.
4. Гипотезы Ходжа и Тэйта.
5. Вычисление гомотопических групп сфер.

В качестве решенных хороших задач выбраны

1. программа Вейля – теоремы Гротендика и Делиня;
2. гипотеза Морделла – теорема Фалтингса;
3. гипотеза ("теорема") Ферма – теорема Вайлса.