Алгебра. Лекция 40

49:30 А я придумал немного другое доказательство.
Обозначим подполе неподвижных элементов F={α∈K | α~=α} в K, где определена операция инволюции ~.
Лемма. Степень K над F не больше двух, [K:F]≤2.
Доказательство смотри в комментариях к 37-ой лекции. (Упражнение.)
59:30 Рассмотрим D как правое векторное пространство над C. 1:00:00
Вместо оператора A(u)=i∙u, рассмотрим следующую операцию инволюции, u=∑el∙zl → u~=∑zl∙el. То есть умножение базисных элементов в линейной комбинации на комплексные коэффициенты справа заменяем на умножение слева. Очевидно, что {el} образуют базис и для правого, и для левого векторного пространства. Относительно R вектора {el} линейно независимы с любой стороны, потому что тело D коммутирует с R, докажем линейную независимость для чисто мнимых коэффициентов. Пусть противное, система {i∙el} зависима, то есть ∑al∙i∙el=0 для некоторого нетривиального набора {al} действительных чисел. Тогда ∑al∙i∙el=i∙(∑al∙el)=0 и следовательно ∑al∙el=0, противоречие с линейной независимостью {el} относительно R.
Проверим аксиомы инволюции. 1) (u+v)~=u~+v~ очевидно, докажем 2) (u∙v)~=v~∙u~
Произведение u∙v при фиксированном u является линейным операторам в правом векторном пространстве на C, то есть u∙v=A∙(zl). С другой стороны v∙u`=(zl)^t∙A` есть линейное отображение тела D при фиксированном u, рассматриваемого как левое векторное пространство. Если в базисе {el} линейное отображение u∙(*) имеет матрицу A, то в том же базисе отображение (*)∙u~ имеет матрицу A^t и аксиома 2) верна в силу матричного равенства (A∙(zl))^t=(zl)^t∙A^t.
Согласно лемме пространство D представимо в виде прямой суммы F+F^, где F^={β∈D | β~=−β} и является одномерным подпространством, линейным над F. Так как F неподвижно относительно инволюции, то все его элементы коммутируют между собой, следовательно C⊂F. Докажем, что C=F, действительно, предположим это не так и существует элемент α∈F и α∉C. Раз все элементы F коммутируют между собой мы можем рассмотреть гомоморфизм C[x] → F, x → α, имеющий нетривиальное ядро, поэтому F изоморфно C[x]/f(x) фактор по неприводимому многочлену f(x). Но в C все неприводимые многочлены линейны, следовательно F совпадает с C и α∈C.
Любой элемент w∈D представим w=(1/2)(w+w~)+(1/2)(w−w~) или если обозначить α`=(1/2)(w+w~), β`=(1/2)(w−w~), то w=α`+β`, где α`∈F, β`∈F^. Рассмотрим какой-нибудь b∈F^, b≠0, его квадрат b^2∈C, b^2=a≠0. В C из любого ненулевого числа можно извлечь квадратный корень, √−a, обозначим j=b/√−a. j∈F^, так как j есть произведение b на скаляр √−a из С. j^1=−1 Взяв j≠0 в качестве базиса в F^ получаем представление w=α+j∙β, где α, β∈C. j∙i=−i∙j, потому что j∈F^={β∈D | β~=−β}, то есть i∙j=(j∙i)~=−j∙i.

Коллеги, извиняюсь, не могу подправить предыдущий комментарий. Взял не ту инволюцию, точнее взял анти инволюцию, с ней, с анти, доказательство не проходит, лемма не работает. Вот мои исправления в новом комментарии.
49:30 А я придумал немного другое доказательство.
Обозначим подполе неподвижных элементов F={α∈K | α~=α} в K, где определена операция инволюции ~.
Лемма. Степень K над F не больше двух, [K:F]≤2.
Доказательство смотри в комментариях к 37-ой лекции. (Упражнение.)
59:30 Рассмотрим D как правое векторное пространство над C. 1:00:00
Вместо оператора A(u)=i∙u, рассмотрим следующую операцию инволюции, u → u~=i∙u∙i^-1=−i∙u∙i. То есть сопряжение с мнимой единицей. Мнимая единица у нас есть, так как мы доказали вложение поля комплексных чисел в тело.
Согласно лемме пространство D представимо в виде прямой суммы F+F^, где F^={β∈D | β~=−β} и является одномерным подпространством, линейным над F. Все элементы поля C неподвижны относительно инволюции, следовательно C⊆F. Докажем, что C=F, действительно, предположим это не так и существует элемент α∈F и α∉C. Раз все элементы F коммутируют с мнимой единицей a∙i=i∙a, то они коммутируют и с С. Мы можем рассмотреть гомоморфизм C[x] → F, x → α, имеющий нетривиальное ядро, поэтому F изоморфно C[x]/f(x) фактор по неприводимому многочлену f(x). Но в C все неприводимые многочлены линейны, следовательно F совпадает с C и α∈C.
Любой элемент w∈D представим w=(1/2)(w+w~)+(1/2)(w−w~) или если обозначить α`=(1/2)(w+w~), β`=(1/2)(w−w~), то w=α`+β`, где α`∈F, β`∈F^. Рассмотрим какой-нибудь b∈F^, b≠0, его квадрат b^2∈C, b^2=a≠0. Очевидно квадрат даже отрицательное действительное число. В C из любого ненулевого числа можно извлечь квадратный корень, √−a, обозначим j=b/√−a. j∈F^. Он из F^, так как j есть произведение b на скаляр √−a из С. j^1=−1 Взяв j≠0 в качестве базиса в F^ получаем представление w=α+j∙β, где α, β∈C.
i∙j≠−j∙i
Так как i^-1∙j∈F^={β∈D | β~=−β}, (i^-1∙j)~=−i^-1∙j, то i∙j=−i^-1∙j=(i^-1∙j)~=−i∙i^-1∙j∙i=−j∙i.