Алгебра. Лекция 35

1:02:50 Обозначим k размерность наибольшего подпространства, где ограничение формы положительно определено. Тогда p ≤ k, потому что то подпространство, форма которого после замены базиса перешло в p единичек на диагонали, имеет размерность p и форма его положительно определена. Почему k≤p? Предположим k>p, следовательно найдётся подпространство U с размерностью k, где форма положительно определена и невырождена, по предыдущей лемме мы можем V представить в виде ортогональной суммы U+W. Потом по отдельности заменим базис в U и W так, чтобы матрица формы приобрела диагональный вид. Блок матрицы отвечающий за подпространство U будет иметь k единичек, k>p, а это противоречит инвариантности квадратичной формы, утверждающее, что значения p и q сохраняются.