Произведения Борчердса и парамодулярная гипотеза Брамера-Креймера

Парамодулярная гипотеза Брамера-Kреймера (Brumer—Kramer) является обобщением гипотезы Шимуры-Таниямы о модулярности эллиптических кривых на случай абелевых поверхностей. В согласии с этой гипотезой, L-функция Хассе-Вейля абелевой поверхности кондуктора N совпадает с L-функцией модулярной формы Зигеля веса два и парамодулярного уровня N.
В частности, должна существовать биекция между новыми собственными модулярными формами, не получающимися подъемом Gritsenko, и классами изогений абелевых поверхностей. В докладе я покажу это для кондуктора N=587 — первого простого кондуктора, для которого могла существовать антисимметричная модулярная форма Зигеля веса 2. Мы построим ее в форме произведения Борчердса, обсудим некоторые арифметические и алгебро-геометрические последствия ее существования и сформулируем открытые вопросы. Эта работа является продолжением моего совместного проекта с C. Poor и D. Yuen (см. нашу первую работу в J. Number Theory 148 (2015), 164–195.)