Объём многогранника как многозначная функция длин его рёбер

Пусть нам задан какой-нибудь комбинаторно-геометрический объект в евклидовом пространстве: набор точек, граф, многогранник или что-то подобное. Тогда мы можем изучать различные метрические характеристики этого объекта, например, длины рёбер, площади граней и объём многогранника. Важной и очень естественной задачей является описание полиномиальных соотношений между различными метрическими характеристиками. Простейшим примером соотношения такого вида служит классическая формула Герона, выражающая площадь треугольника через длины его сторон. В докладе мы в основном сосредоточимся на задаче о соотношении между объёмом многогранника и длинами его рёбер, хотя будет дан и небольшой обзор других родственных задач.

В 1996 году И.Х. Сабитов доказал, что объём любого симплициального многогранника в трёхмерном евклидовом пространстве является целым над кольцом многочленов от квадратов длин рёбер многогранника, то есть является корнем многочлена со старшим коэффициентом 1, остальныекоэффициенты которого суть многочлены от квадратов длин рёбер многогранника. Замечательным приложением этой теоремы служит утверждение о том, что объём любого изгибаемого многогранника постоянен в процессе изгибания. (Изгибаемый многогранник - многогранник с жёсткими гранями и шарнирами в рёбрах, который может изгибаться с изменением двугранных
углов.)

В течение долгого времени оставался открытым вопрос о том, верен ли аналог теоремы Сабитова в старших размерностях. В 2012 году докладчиком был доказан аналог теоремы Сабитова для многогранников произвольной размерности, большей 3. Доказательство стало возможным благодаря взаимодействию двух основных инструментов: теории нормирований полей и теории вдавливания симплициальных комплексов. В докладе будет рассказано, почему нормирования полей возникают в такого рода задачах и как именно они применяются при доказательстве многомерного аналога теоремы Сабитова.

Страница лекции на сайте лаборатории им.П.Л.Чебышева.