Jacobian Conjecture

Спецкурс будет посвящен одной из самых старых и знаменитых нерешенных проблем алгебры и алгебраической геометрии, проблеме якобиана, сформулированной Келлером в 1939 году. Несмотря на многие сотни посвященных ей работ, и рекордное число опубликованных ошибочных решений, до сих пор открыт даже двумерный случай.

Двумерную проблему якобиана можно сформулировать в терминах доступных ученику младших классов: доказать, что для любых двух многочленов f,g из C[x,y] таких, что якобиева матрица, составленная из их частных производных по x и y, обратима, имеет место равенство C[f,g]=C[x,y].

Напомним, что теорема о неявной функции утверждает, что в этом случае отображение, переводящее (x,y) в (f(x,y),g(x,y)), обратимо формально. Проблема якобиана состоит в том, чтобы доказать, что оно действительно обратимо, причем обратное отображение также полиномиально.

Планируется рассказать (напоминая при этом все необходимые понятия и факты) об общем контексте этой задачи и ее эквивалентных формах, основных редукциях, известных частичных результатах, различных аналогах и обобщениях. В частности, планируется рассказать результаты Басса-Коннела-Райта и де Бондта-ван ден Эссена, сводящие проблему к случаю кубических многочленов, теорему Абьянкара-Мо и т.д.

Несмотря на то, что сама задача допускает элементарную формулировку, попытки ее решения служат поводом увидеть в действии многие разделы алгебры и алгебраической геометрии (локально нильпотентные дифференцирования, теорию Галуа, формальное обращение и т.д.). В частности, будет рассказано о замечательных связях этой задачи с алгебраической K-теорией.

Кроме того, это естественный контекст для обсуждения групп бирегулярных и бирациональных автоморфизмов алгебраических многообразий. Мы предполагаем обсудить (немногочисленные!) известные результаты о строении таких групп и сформулировать основные нерешенные задачи. В этой связи будет рассказано о ручных автоморфизмах (порожденная ими группа является аналогом элементарной подгруппы в классических группах), подгруппах этих групп, разложениях в амальгамированные произведения, инд-алгебраических группах, и т.д.

Как обычно, планируется, что основная часть материала должна быть понятна САМЫМ МАЛЕНЬКИМ, начиная со 2-го курса (а при некотором упорстве и с 1-го курса), но большинство результатов, особенно недавние, будут интересны и для специалистов.