Из-за слабого, но неизбежного взаимного притяжения планет Солнечной системы, они периодически слегка изменяют свои кеплеровы орбиты. Мог ли создатель проекта Солнечной системы так расположить планеты в пространстве и придать им такие начальные скорости, чтобы подобных «досадных усложнений» нашего мира не возникало?
Как изменился бы ответ на этот вопрос, если бы был использован другой "закон гравитации": F = - k R ( F и R - векторы) ?
Да, если бы они двигались по круговым орбитам.
Ну в случае когда сила Гука то видимо да. А в первом случае в системе более 2 тел видимо нет
Досадные изменения орбит происходят из-за того, что положения планет смещаются относительно друг друга: находятся ближе - сильнее притягиваются, дальше - слабее. Чтобы исключить досадные усложнения, нужно, чтобы положения планет не изменялись относительно друг друга. При круговых орбитах это возможно, если планеты будут двигаться, все время находясь на одной прямой с Солнцем. Соответственно, ближняя планета к звезде должна быть самой медленно, дальняя - самой скоростной. Круговые орбиты нужны для постоянства скоростей, при движении по эллипсам выдержать одну прямую нереально.
На мой взгляд, это вполне возможно и в действующем законе всемирного тяготения (при степени -2) и при любом количестве планет.
В пятой лекции говорится о том, что сильное возмущение орбит планет происходит во время противостояний, когда расстояние между планетами минимально. Исходя из этого утверждения можно предположить, что если достаточно увеличить расстояние между планетами, то гравитационная сила возникающая в противостоянии и убывающая по закону обратных квадратов, будет мала. Пусть это будет первый вариант настройки системы. Вторым вариантом, несомненно, будет изменение орбит из эллиптических к круговым, центром которых будет Солнце. В таком случае орбиты будут представлять концентрические круги, расстояние между которыми будет неизменным, и при должной отдаленности орбит изменения в движения планет от их взаимодействия будет ничтожным. Скорость для подобных орбит можно рассчитать, если приравнять гравитационную силу со стороны Солнца по закону всемирного тяготения и ее же, но из второго закона Ньютона, подставив в ускорение формулу для ускорения при движении по окружности. В прикрепленном файле пример решения для Земли, если мы хотим, чтобы она двигалась на расстоянии афелия или перигелия. Как видно значения получились не далекие от средней скорости движения по орбите (29,783 км/c), что в принципе соответствует действительности, т.к. орбита Земли не такой уж вытянутый эллипс (эксцентриситет орбиты всего 0, 016, для круговой орбиты соответственно ноль). Ну и ссылка на оригинал с решением, если сайт опять пережмет картинку. Тыц
Теперь вторая часть вопроса. F = - k R. В этом случае в законе нет зависимости от масс взаимодействующих тел, есть только расстояние (коэффициент k характеризует внутренние шнура, на котором "висят" планеты). Сила взаимодействия здесь возростает с расстоянием между планетами, поэтому нам ничего не остается, кроме как поместить планеты на круговые орбиты, причем скорость движения планет желательно подобрать так, чтобы расстояние между ними не менялось, т.к. при изменении расстояния между двумя планетами будут неизбежно расстояния и между другими планетами системы, что в конечном итоге будет приводить к возмущениям орбит в системе. Получается, что разница между первым и вторым законом в том, что для закона с убыванием силы по обратному квадрату радиуса планеты надо отдалять друг от друга для уменьшения взаимодействий. А для закона с увеличением силы прорционально расстоянию, наоборот, планеты надо сближать (этот вывод получился эмпирически не привычным - все-таки мозг думает, что планеты надо отдалять для уменьшения взаимодействия =) )
Круговые орбиты и планеты, либо достаточно удалённые друг от друга, чтобы не оказывать заметного воздействия, либо вращающиеся с одной и той же угловой скоростью и на постоянном расстоянии друг от друга (выше уже писали про такое). Причём, все планеты можно было бы уместить на одной орбите в углах правильных многогранников, сделав их абсолютно похожими. Тогда всё было бы идеально до жути и жить в таком мире было бы скучно :)